MUOVERE LA GEOMETRIA > FASE 1

Fase 1 - Una riflessione sul concetto di altezza

 

PER L'INSEGNANTE

Iniziamo questa Fase con una riflessione sul concetto di altezza rivolta non agli studenti ma agli insegnanti, che ha l’obiettivo di introdurre e chiarire vari aspetti caratterizzanti questo percorso.

La letteratura mostra come, al termine della scuola primaria, gli studenti sviluppino un concetto di altezza di un poligono fortemente legato a rappresentazioni stereotipate. Di conseguenza, una difficoltà molto diffusa riguarda il riconoscimento di rappresentazioni non convenzionali di altezze di poligoni. Questo aspetto sembra essere il frutto della scelta didattica, che spesso viene operata, di fornire agli studenti una definizione di altezza univoca. In particolare, la definizione più comunemente presentata a livello di scuola primaria è: 

“L’altezza è il segmento che parte da un vertice e cade perpendicolarmente 

sul lato opposto, o sul suo prolungamento”

Tale definizione è spesso accompagnata da specifiche rappresentazioni e immagini stereotipate che diventano poi talmente popolari e condivise da coincidere per gli studenti con “il concetto stesso”.

 

Osserviamo poi che, come spesso accade con gli oggetti matematici, l’insegnamento e l’apprendimento del concetto di altezza in geometria sono influenzati dall’uso nel linguaggio comune della parola “altezza”. Nel quotidiano parliamo di altezza come di una quantità caratteristica di certi oggetti ed essa è fortemente legata alla gravità, a una direzione «orizzontale» e una «verticale»: si tratta di fatto di considerare “l’ingombro massimo”. Se proviamo però ad estendere tale definizione per applicarla al contesto matematico, otteniamo un oggetto geometrico che non sempre è funzionale, ad esempio, per il calcolo delle aree dei poligoni.

Pensiamo pertanto sia importante aprire il percorso proponendo una riflessione con gli studenti sull’uso della parola altezza in matematica e nella vita di tutti i giorni. Si possono fare diversi esempi (altezza di una persona, altezza di una montagna, altezza di un oggetto…) per arrivare alla conclusione che ci sono vari modi possibili di definire l’altezza. L’importante conquista e presa di consapevolezza da parte degli studenti dovrebbe essere che, in contesti diversi, una definizione può essere più efficace di un’altra, in particolare noi saremo interessati a capire qual è la definizione che viene utilizzata in matematica e perché.

 

Nel caso dei triangoli, le difficoltà riguardanti il concetto di altezza sono particolarmente accentuate e trasversali rispetto ai livelli scolari. A questo proposito, riportiamo le misconcezioni più comuni, frequenti e privilegiate dagli studenti sull’altezza di un triangolo:

1. deve partire da un vertice;
2. è interna al triangolo e non coincidente con alcun lato del triangolo;
3. è verticale.

Andando ancora più nel dettaglio, in quesiti in cui si chiede di tracciare l’altezza relativa ad un dato lato, le maggiori difficoltà si riscontrano nel caso di triangoli ottusangoli o rettangoli ma troviamo in letteratura numerosi esempi di studenti che sistematicamente identificano una sola altezza del triangolo, quella relativa al lato posto orizzontalmente rispetto al foglio, spesso confondendola con la sua mediana oppure con il suo asse. Per esempio, mostriamo il caso di uno studente, che rappresenta un esempio paradigmatico di risposta alla richiesta di disegnare l’altezza del triangolo relativa al lato AB (i segni rossi sono aggiunti dell'insegnante):

 

 

A partire dallo scenario brevemente presentato, questo percorso è stato progettato operando proprio sulle criticità messe in luce dalla ricerca in didattica della matematica, offrendo agli studenti più di una caratterizzazione di altezza, accompagnata da molteplici rappresentazioni, e con una grande attenzione ad evitare il riferimento agli stereotipi più comuni. 

Introduciamo quindi l’idea alla base della nostra progettazione didattica (maggiori dettagli sull’altezza nei quadrilateri si trovano nella Fase 3 e sull’altezza nei triangoli nella Fase 4 di questo percorso).

La scelta didattica, in un certo senso innovativa, che proponiamo è di introdurre l’oggetto matematico altezza attraverso diverse definizioni e rappresentazioni possibili. In particolare, nel caso del triangolo, parliamo principalmente nei seguenti due modi di altezza rispetto a un lato:

1. Segmento perpendicolare ad un lato, o al suo prolungamento, che passa per il vertice non contenuto in quel lato (opposto).
   Questa caratterizzazione dell’altezza è molto simile alla definizione che si trova comunemente nei libri di testo. Per non legare in maniera troppo forte il significato di altezza a una direzione privilegiata è fondamentale osservare e discutere in classe con gli studenti che tale definizione ammette a sua volta due rappresentazioni: 
   1a) come un segmento tracciato a partire dal vertice
   1b) come un segmento tracciato a partire dal lato, o dal prolungamento
   
   Esplicitando il protocollo di costruzione si può apprezzare meglio la differenza tra questi due modi di visualizzare e tracciare lo stesso segmento.
   Nel caso 1a) è come se si considerasse un fascio di rette centrato nel vertice e si scegliesse la retta del fascio che è perpendicolare al lato considerato; nel caso 1b) è come se si considerasse un fascio generato da una retta perpendicolare al lato considerato e si scegliesse la retta passante per il vertice opposto.

1a)             1b)

 

2. Altezza della striscia in cui è inscritto il triangolo.
   Questa caratterizzazione è ripresa da un’idea di Ferrari (2016) che parla di altezza di un poligono in termini di altezza della “striscia” in cui si può inscrivere il poligono: 
   «perché un poligono abbia un’altezza deve verificare due condizioni: essere tutto contenuto in una striscia ed avere tutti i suoi vertici distribuiti sui lati della striscia.» (Ferrari, 2016, p. 481)
   Una striscia è determinata da due lati, ovvero due rette parallele tra loro: analizziamo cosa accade se proviamo a sfruttare questa definizione di altezza nei diversi casi di poligoni.

• Nel caso di un poligono con più di 4 lati, non è possibile individuare alcuna striscia in modo che tutti i vertici del poligono appartengano alle due rette e quindi non è definita l’altezza secondo questa definizione.

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• Nel caso di un quadrilatero generico accade la stessa cosa e quindi non è definita l’altezza secondo questa caratterizzazione. Per avere la certezza di riuscire ad individuare almeno una striscia contenente il quadrilatero, occorre che esso sia almeno un trapezio. Nel caso specifico del trapezio, infatti, è definita una sola altezza mentre, ad esempio, il parallelogramma ne ha due perché è possibile inscriverlo in due strisce.

        

 

• Nel caso del triangolo, una retta contiene un lato del triangolo e l’altra il vertice che non appartiene al lato scelto. Osserviamo quindi che, nel caso specifico del triangolo, è sempre possibile identificare questa striscia, che è univoca per ciascun lato.

 

ATTIVITÀ 1

Questa attività consiste nel chiedere agli studenti di disegnare le altezze di alcuni triangoli, stampati su un foglio A3 bianco ritagliato a forma circolare, secondo quanto ricordano dalla scuola primaria...Leggi tutto

 

ATTIVITÀ 2

L’insegnante lancia una discussione sull’idea di altezza che hanno gli studenti, stando volutamente molto vaga nella formulazione dell’input proposto...Leggi tutto

 

2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.