Fase 1 - Alla scoperta dei perché matematici alla base degli algoritmi di divisione in Q

In questa fase si riprende il lavoro sul confronto tra algoritmi di divisione in N, per far emergere tutti i significati matematici che sono alla base del funzionamento dell’algoritmo in colonna, con lo scopo di estenderlo all’insieme numerico dei numeri razionali Q. In particolare, ci si concentra sulla regola “metto la virgola e aggiungo gli zeri” cercando di esplicitarne il significato.

A questo punto del percorso la canadese è il riferimento principale della classe e quindi assumerà un ruolo chiave di mediatore tra il sapere situato dell’algoritmo in colonna standard e il sapere matematico.

ATTIVITÀ

L’insegnante assegna agli studenti una divisione da svolgere sia con l’algoritmo in colonna che con la canadese. Può scrivere l’insegnante alla lavagna mentre la classe detta i passaggi oppure può chiamare direttamente due studenti a svolgere la stessa divisione con i due algoritmi.

Poiché in questa fase vogliamo arrivare a trovare il quoziente in forma decimale, si consiglia di proporre un’operazione che dia per quoziente un numero con 25 o 75 come parte decimale.

Questo renderà più facile il controllo sull’esattezza dei calcoli e la discussione essendo oppure .

Per esempio, nelle classi sperimentali sono state proposte le operazioni 371 : 4 oppure 1251 : 12.

Svolta alla lavagna la divisione con i due algoritmi, l’insegnante lancia la discussione di classe, dichiarando che l’obiettivo della lezione è capire bene cosa c’è alla base di questi algoritmi, come è già stato fatto nel caso delle divisioni nei naturali, quando ci si fermava al resto. Può fare delle domande sull’algoritmo in colonna, sul perché determinati passaggi si eseguono in quel modo, sul significato di “aggiungere gli zeri” al dividendo.

Esempio di lancio di discussione da parte dell’insegnante¹.

Indicazioni per il docente

L’insegnante guida lo svolgimento dell’algoritmo canadese cercando di far emergere dagli studenti, sulla base dei significati matematici costruiti in precedenza, i passaggi successivi per continuare l’algoritmo in Q.

Nella discussione sul confronto tra gli algoritmi, utilizzando dei colori, evidenzia nei due diagrammi le parti che vengono identificate dagli studenti come equivalenti. Riprende alcune espressioni utilizzate dagli studenti, vari dubbi e riflessioni che vengono poste, cercando di portare il focus di tutta la classe sui seguenti obiettivi:

riuscire a gestire la prosecuzione dell’algoritmo canadese anche in Q, scegliendo la rappresentazione di numero razionale che è più comoda per gestire il calcolo (frazione, numero decimale, numero intero moltiplicato per una potenza negativa di 10);
trovare corrispondenze tra un passaggio dell’algoritmo in colonna standard e i relativi passaggi (anche più di uno) nella canadese;
riflettere sul perché si fa in quel modo un determinato passaggio;
dare significato al passaggio “metto la virgola e aggiungo gli zeri” nell’algoritmo in colonna standard;
individuare le virgole e gli zeri “non scritti” nell’algoritmo in colonna standard;
far emergere come, nell’algoritmo in colonna standard, molto sia sottointeso dalla notazione decimale posizionale.

Cosa aspettarsi

Alcuni studenti incontreranno delle difficoltà nello svolgimento della divisione con la canadese, nel momento in cui entrano in gioco i numeri razionali. Nelle classi sperimentali gli studenti hanno privilegiato la scrittura sotto forma di frazione, rispetto a quella con i numeri decimali o con un numero intero moltiplicato per una potenza negativa di 10. Tuttavia molto dipenderà dal momento in cui si decide di proporre l’attività e dalla familiarità acquisita in precedenza nel calcolo con i numeri razionali.

Di fronte a tale difficoltà, che potrebbe scoraggiare alcuni studenti, è importante ricordare l’obiettivo di questo lavoro: usare il confronto tra algoritmi per capire i significati di alcuni passaggi svolti fino a questo momento in modo inconsapevole e automatico. È importante condividere con gli studenti che quanto viene richiesto loro è complesso e di alto livello ma che abbiamo fiducia che, ragionandoci tutti insieme, si possa raggiungere l’obiettivo prefissato.

Riflessione di uno studente che sente la canadese più complessa da gestire in Q
ma accetta quanto richiesto perché “stiamo cercando di andare più a fondo”:
è proprio la ricerca dei “perché” a giustificare la fatica di capire.
Lo studente afferma di sentirsi un universitario perché gli è richiesta una cosa da “veri matematici”!

Vediamo di seguito qualche esempio su come gli studenti delle classi sperimentali hanno gestito la prosecuzione dell’algoritmo canadese dopo il resto per continuare la divisione in Q.

Alla richiesta di chiarimento da parte di un compagno sul passaggio in cui è stato scelto di sottrarre 4 per 1/2 (vedi foto della lavagna riportata sotto), uno studente ha risposto “Allora perché 3 non ci sta nel 4 e quindi, visto che il 3 non ci sta nel 4, allora facciamo per 0,5 perché 0,5 è minore di 1. Perché 4 per 1 fa 4 e 3 – 4 non si può fare!”

Esempio di svolgimento della stessa divisione con i due algoritmi, da una lavagna virtuale.

Come si può osservare nelle foto, l’insegnante, durante la discussione in classe, potrà usare segni vari come colori e riquadri sulla lavagna. In questo modo vengono messi in luce gli aspetti importanti rispetto agli obiettivi, che emergono dagli studenti, e permettono alla classe di seguire meglio il ragionamento.

Esempio di svolgimento della stessa divisione con i due algoritmi, da una lavagna virtuale.

Altro esempio di uso della canadese, da un’altra classe sperimentale.

Riportiamo di seguito alcuni estratti di discussioni avvenute nelle classi sperimentali, che mostrano come gli studenti siano arrivati alla scoperta dei significati matematici che sono alla base del funzionamento dell’algoritmo in colonna, quando si lavora in Q.

In riferimento alla figura sottostante, gli studenti hanno associato il 4 per 7 eseguito nella procedura di divisione in colonna (indicando il numero 28) a un 4 per 0,7, osservando che ci sono delle virgole nascoste. Riprendendo il percorso sulla divisione nei naturali, in cui erano emersi gli zeri nascosti, qui la scoperta molto importante che è stata fatta è che l’operazione 4 per 7 deve essere letta come 4 per 0,7 se si vuol capire il significato matematico che c’è dietro la procedura.

Inoltre, nelle classi sperimentali gli studenti hanno parlato delle virgole non scritte nell’algoritmo in termini di una “colonna di virgole”.

Discussione analoga in un’altra classe, dove nuovamente gli studenti parlano di “virgola in colonna” e iniziano a verbalizzare come nell’algoritmo in colonna molto sia sottointeso dalla scrittura posizionale.

Infine, riportiamo di seguito la foto del quaderno di una studentessa in cui ha riassunto tutte le scoperte fatte durante la lezione.

CONCLUSIONI

Durante questa Fase l’insegnante dichiara, con sincerità, agli studenti che la consegna è difficile, che si sta chiedendo loro di fare un’attività da veri matematici e sottolinea, anche a più riprese, quanto sia importante capire e non solo memorizzare.

Gli studenti prenderanno ancora una volta consapevolezza di essere stati fino a quel momento dei buoni esecutori, essendo perfettamente in grado di eseguire correttamente tutti i passaggi dell’algoritmo in colonna, ma che non avrebbero saputo spiegare che senso avessero tutti i passaggi dal punto di vista matematico.

Alla fine, dopo aver fatto il confronto, l’insegnante valorizza ciò che è emerso dalla discussione ed esprime la sua soddisfazione agli studenti dicendo loro che hanno lavorato bene.

Ribadiamo come, lavorando spesso in questo modo, anche gli studenti più deboli impareranno un po’ alla volta ad accettare la fatica cognitiva di queste consegne perché coglieranno l’importanza dell’obiettivo. È molto importante che l’insegnante non giudichi mai in questa fase di discussione ma che promuova i processi di congettura di tutti e favorisca il confronto di opinioni diverse.

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¹Se a prima vista l’algoritmo utilizzato dalle classi sperimentali (quello a sinistra nell’immagine) chiamato con l’acronimo DMSB può sembrare leggermente diverso da quello tradizionalmente utilizzato in Italia, in realtà si tratta solo di una questione di convenzione sulla rappresentazione e posizione dei numeri.

2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.