Fase 2 - Quanto andrò avanti con l'algoritmo in Q? Qual è il ruolo del resto?

In questa fase si riprende un dubbio importante, noto anche nella letteratura, che era già emerso durante il confronto tra algoritmi di divisione in N, ovvero se il resto corrisponde o no alle cifre decimali del quoziente.

Sulla base di tutto quanto visto fino ad ora sul funzionamento degli algoritmi e sul perché dei vari passaggi, gli studenti inizieranno a prendere consapevolezza che il resto contribuisce alle cifre decimali ma non coincide con esse. Anzi, le cifre decimali sono generate dal quoziente tra il resto e il divisore.

Inoltre, si discutono i vari scenari possibili che si possono ottenere dividendo tra loro due numeri interi, indagando il perché l’algoritmo di divisione non potrà mai andare avanti all’infinito ma prima o poi finirà o inizierà a ripetersi in modo ciclico, portando quindi alla ripetizione di un insieme di cifre decimali, dette periodo.

Riformulando in termini più matematici, vorremmo portare gli studenti a capire che il quoziente tra due numeri interi è sempre un numero razionale.

Le attività che proponiamo in questa fase possono variare da classe a classe. Per esempio, è possibile che alcuni degli argomenti vengano già sollevati spontaneamente dagli studenti, in tal caso l’insegnante può lanciare la discussione sfruttando le loro parole o produzioni. In particolare, sottolinea o cerca di innescare un conflitto cognitivo in coloro che credono che il resto corrisponda alle cifre decimali del quoziente, ponendoli di fronte ad un’evidenza diversa.

Sta quindi alla sensibilità dell’insegnante decidere quanto tempo dedicare a queste importanti discussioni. Si tratta di una scelta didattica delicata che il docente si trova a dover gestire nel momento stesso in cui emergono dagli studenti tali osservazioni.

Per esempio, si potrebbe decidere di interrompere la discussione per “cavalcare l’onda” del momento oppure concordare con la classe di riprenderla nella lezione successiva se si ritiene opportuno non spostare il focus della discussione in corso. Si può giustificare tale scelta sottolineando l’importanza della questione sollevata che merita di essere trattata in modo approfondito.

Per ogni attività, riportiamo alcune proposte di lavoro di discussione e quindi di costruzione dei significati intorno agli aspetti messi a fuoco nelle domande chiave.

ATTIVITÀ 1

Si riportano alcuni spunti possibili per lanciare la discussione in classe sul primo aspetto che vogliamo trattare in questa fase: “qual è il ruolo del resto?”... Leggi tutto

ATTIVITÀ 2

Si riportano alcuni spunti possibili per lanciare la discussione in classe sul secondo aspetto che vogliamo trattare in questa fase: “quanto andrò avanti con l’algoritmo in Q?”... Leggi tutto

CONCLUSIONI

Un importante traguardo di questa Fase 2 è l’attribuzione di significato al resto che spesso per gli studenti rappresenta solamente un numero difficile da dover gestire. Tale difficoltà, che porta anche a interpretazioni e scritture matematiche sbagliate, ha origine spesso in una trattazione superficiale di tale concetto già durante il lavoro con i numeri naturali.

Realizzare che l’algoritmo di divisione necessariamente si ferma (resto zero) o va “in loop” (portando quindi alla ripetizione di un insieme di cifre decimali, dette periodo) permette a tutti gli studenti di superare le comuni “regole” fornite spesso alla scuola primaria che definiscono dei criteri per interrompere l’algoritmo. In questo modo si promuove lo sviluppo di un controllo sui processi, lavorando direttamente sul senso di autoefficacia dello studente.

Dalla letteratura si può osservare come sia fondamentale per la comprensione dei numeri razionali essere consapevoli dell’equivalenza di due processi: come e quando la divisione di numeri interi dà luogo a decimali ripetuti e, viceversa, che ogni decimale ripetuto può essere rappresentato come un rapporto di due numeri interi.

Le basi della costruzione di questi significati vengono poste nella parte finale del percorso sulle frazioni (Frazioni sul filo - Fase 4), a cui questa attività si collega e di cui risulta un completamento importante. Nella programmazione didattica sarebbe quindi opportuno tenere conto di tale collegamento, considerando per esempio di svolgere le due attività in tempi ragionevolmente vicini o addirittura in parallelo.

Attraverso questo percorso gli studenti sono arrivati a scrivere espressioni come le seguenti:

Vale la pena ricordare che tali attività sono attività inclusive perché permettono agli studenti più deboli di comprendere aspetti di base fondamentali e offrono, allo stesso tempo, anche la possibilità di spingersi verso riflessioni di livello molto alto (link al video Difficoltà in matematica e "inclusione" nelle nostre pratiche didattiche). Tali scritture ne sono un esempio perché, oltre a essere corrette, hanno un grande valore dal punto di vista matematico: dimostrano una profonda comprensione dei significati e un ottimo controllo sui processi.

► Proposte di consolidamento

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2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.