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ATTIVITÀ 1

Risolvi il problema e spiega come hai ragionato, aiutati con una rappresentazione (disegno, schema,…).

La somma di due numeri è 96.

Un numero è il triplo dell’altro.

Trova i due numeri.

 

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L’insegnante concede il tempo necessario affinché ciascuno studente svolga il problema autonomamente, passa tra i banchi e osserva quali sono i ragionamenti e le rappresentazioni adottati dagli studenti. Gli studenti faranno sicuramente molte domande, tuttavia è importante cercare di non rispondere in maniera troppo esplicita alle varie richieste di suggerimenti ma, per esempio, riformulare la consegna o il testo del problema con parole più semplici per renderlo maggiormente comprensibile. Si può anche chiedere agli studenti stessi il significato delle parole, in questo caso “triplo”, oppure fare un esempio con numeri semplici (qual è il triplo di 2?).

 

Indicazioni per il docente

Quando la maggior parte degli studenti ha concluso l’attività, l’insegnante chiede loro di condividere la propria risoluzione. L’insegnante, passando tra i banchi durante il tempo del lavoro individuale, si fa un’idea delle varie risoluzioni proposte, sia giuste che sbagliate, e cerca di dare spazio a tutte, riportandone alcune alla lavagna in modo che siano rappresentative dei vari ragionamenti emersi.

Infine, dovrà incoraggiare e guidare la discussione collettiva, cercando di portare e mantenere il focus sui seguenti obiettivi (vai al video "La discussione matematica collettiva"):

• interrogarsi sul ruolo della rappresentazione nel processo risolutivo;

• far emergere diverse rappresentazioni che corrispondono a diversi ragionamenti;

• abituare gli studenti a spiegare e ad argomentare il proprio ragionamento;

• prendere consapevolezza che alcuni ragionamenti sono generalizzabili mentre altri, ad esempio tentativi ed errori, sono applicabili solo in determinati casi.

 

Cosa aspettarsi

La maggior parte degli studenti tende a fare la rappresentazione a posteriori, in seguito alla richiesta da parte dell’insegnante di spiegare il ragionamento o, più esplicitamente, di usare proprio una rappresentazione.

Nelle classi sperimentali, la strategia di molti studenti per risolvere il problema è stata quella di procedere per tentativi ed errori, partendo da due numeri che parzialmente rispettassero i vincoli (per es. la cui somma fosse 96) e modificandoli poi in modo da soddisfare anche le altre condizioni (per es. che siano anche uno il triplo dell’altro). Qualche studente ha disegnato 96 pallini, mentre la maggior parte ha fatto la metà della metà di 96, ma poi non è riuscita a spiegare perché funzionasse tale strategia. 

 

 

Come si può osservare dal tipo di rappresentazioni proposte, spesso gli studenti hanno prima risolto il problema, procedendo per tentativi ed errori oppure facendo un’operazione, e solo in un secondo momento hanno fatto il disegno. Questo si può inferire dalla presenza del valore numerico all’interno delle rappresentazioni. Fa eccezione l’ultima immagine in cui ritroviamo un tentativo di generalizzazione attraverso l’uso di palline.

In generale, non sembra quindi che tali disegni siano stati utili ai fini della risoluzione del problema e ne abbiano supportato il ragionamento, ma piuttosto danno l’impressione di essere solo strumenti per comunicare il procedimento seguito o, semplicemente, per compiacere la richiesta dell’insegnante. 

Inoltre, osserviamo che tali rappresentazioni non sono quasi mai generalizzabili, infatti non potrebbero essere utilizzate in un contesto problematico simile ma con numeri diversi.

 

Conclusioni

L’insegnante durante la discussione condivide queste osservazioni con gli studenti affinché prendano consapevolezza del loro uso delle rappresentazioni come disegni finalizzati a illustrare un ragionamento. Si discutono e confrontano diversi ragionamenti possibili per risolvere il problema, sottolineando che alcuni di questi sono generalizzabili mentre altri, ad esempio procedere per tentativi ed errori, sono applicabili solo con numeri relativamente bassi, interi o particolarmente facili da gestire.

L’obiettivo principale è quello di far sviluppare agli studenti la consapevolezza che fare una rappresentazione può servire per ragionare sul problema e sulla sua risoluzione, e che una «buona» rappresentazione è generalizzabile, cioè permette di risolvere anche problemi diversi ma dello stesso tipo. Questo sarà l’obiettivo principale della consegna dell'Attività 2, nella quale si prova a stabilire una dialettica in cui la rappresentazione un po’ nasce dagli studenti e un po’ viene fornita dall’insegnante. In particolare, proponiamo di usare un escamotage che consiste nel mostrare la proposta di uno studente, Bernardo, che fa una rappresentazione usando delle palline.

NB: La rappresentazione di Bernardo si basa sull’uso di palline perché si ispira all’idea di uno studente.  L’insegnante può modificare la rappresentazione in relazione a ciò che emerge dalle proposte dei propri studenti, per esempio le palline possono essere sostituite da quadratini, rettangoli, segmenti… 

 

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2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.