Proposte di consolidamento

(anteprima)

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Riportiamo di seguito alcune osservazioni emerse ed elaborate in seguito alle sperimentazioni di questi materiali. I testi dei problemi si possono trovare nel file allegato.

È interessante osservare come alcuni studenti facciano ricorso ad una rappresentazione compatta in cui raggruppano oggetti dello stesso tipo in un’unica riga. Ad esempio, nel caso del problema in oggetto, mettono insieme tutti gli eBook e tutti i libri cartacei. 

Interpretiamo questo comportamento a testimonianza della familiarità sviluppata dagli studenti con questo tipo di problemi e di rappresentazioni. La maggior parte utilizza in modo corretto la rappresentazione, tuttavia alcuni studenti poi non curano la risposta alla domanda del problema. Per esempio, in questo caso alcuni hanno considerato nella risposta il costo complessivo degli eBook, anziché quello di un singolo eBook come richiesto nella domanda.

In generale la maggior parte degli studenti delle classi sperimentali è riuscita a svolgere correttamente questo problema.

L’errore più comune è stato quello già discusso per la consegna 2: la rappresentazione viene fatta in maniera coerente con il testo del problema, ma poi viene eseguita la divisione prima di sottrarre 8 dal totale. Nei casi in cui tale errore si è manifestato, gli studenti hanno corretto i compagni che sbagliavano parlando così: 

“non puoi dividere se prima non togli 8 perché non sono cose tutte uguali”

“devi avere solo palline prima di poter dividere”

Inoltre, consigliavano loro di fare il passaggio alla seconda rappresentazione, quella senza il +8, come supporto. Questo consiglio è particolarmente importante perché rimanga forte il senso semantico delle azioni, evitando quindi che diventino una procedura automatizzata priva di senso.

In generale questo problema ha dato luogo ad una percentuale maggiore di errori sulla rappresentazione, che sembrano essere legati a delle assunzioni sul testo, da parte degli studenti, secondo cui le relazioni tra i dati sono sempre espresse in ordine, cioè viene dato per scontato che il riferimento sia rispetto al dato precedente. Per esempio, nel problema dei nipoti, alcuni hanno rappresentato con 1 pallina Franca e con 2 palline Nicola, giustificandosi con l’essere abituati al fatto che fosse il primo nominato nel testo ad avere il ruolo di riferimento. 

Come già osservato nel problema degli eBook, alcuni studenti fanno una rappresentazione in cui accorpano insieme dati dello stesso tipo. In questo caso, tutti i panettoni e tutti i pandori sono rappresentati insieme:

      

Il costo dei cioccolatini è stato in gran parte rappresentato numericamente, ma qualche studente ha fatto una pallina e ha inserito i 7€ dentro o accanto con una freccetta (vedi le immagini sopra). Questa seconda rappresentazione ha suscitato una discussione interessante, durante la correzione del problema in classe, sul fatto di poter rappresentare o meno con una pallina come le altre i 7€ dei cioccolatini. 

Gli studenti che avevano proposto questa rappresentazione hanno detto che il cerchietto era stato disegnato solo per questioni estetiche e che non fosse davvero una pallina come le altre. Si è concluso, quindi, che è meglio non inserire i 7€ nella pallina proprio per evitare di far confusione, e scrivere solo il valore numerico (vedi immagine sottostante).

Una parte di studenti delle classi sperimentali è rimasta fedele alla rappresentazione estesa, in cui ogni pandoro/panettone è rappresentato su una riga a sé stante. Interessante la descrizione di tale rappresentazione fornita da questo studente, che riprende la metafora della “pallina mangiucchiata” per identificare il costo di un pandoro.

Un altro aspetto a nostro avviso da segnalare è la traduzione che è stata fatta da qualche studente della frase un pandoro costa 3 € in meno di un panettone, riformulata nella relazione un panettone costa 3 € in più di un pandoro:

   

Questo problema ha generato qualche difficoltà nella comprensione e gestione del testo.
Per esempio, molti studenti hanno detto di aver interpretato “questi ultimi due draghi insieme” come gli ultimi due draghi da loro rappresentati e, poiché erano partiti rappresentando il drago verde con una pallina, poi hanno considerato 28 come la somma dei draghi giallo e rosso. 

Inoltre osserviamo, come già accaduto per altri problemi proposti, l’uso da parte degli studenti di una seconda rappresentazione, una versione “aggiornata” che aiuta nel processo risolutivo.

   

Dal punto di vista linguistico i due problemi sono volutamente molto simili, ma nella rappresentazione si osserva quanto le situazioni descritte siano diverse: 

L’obiettivo di tale attività è confrontare i due problemi per far emergere e discutere in classe le differenze che ci sono tra essi. In particolare, nel problema di destra manca un dato, quindi in questa formulazione ha infinite soluzioni. 

Questa attività può essere proposta agli studenti in un momento qualsiasi del percorso, in cui emerge la difficoltà da parte degli studenti di rappresentare questo tipo di relazioni tra le quantità in gioco. In particolare, questo confronto può rivelarsi necessario nel momento in cui si osserva che la difficoltà non è soltanto legata alla lettura del testo, piuttosto alla traduzione dal linguaggio scritto alla modellizzazione matematica. 

Per esempio, in alcune classi sperimentali questo confronto è avvenuto in seguito alla risoluzione del problema sulle figurine, che coinvolge relazioni di tipo frazionario (Fase 4).