Ogni passo dell'algoritmo in colonna è una divisione con resto, dove il divisore è sempre lo stesso ma il dividendo è specificato passo dopo passo. 

Per esempio, consideriamo la divisione 791 : 22. Come mostrato nelle foto sotto, il secondo passo dell'algoritmo in colonna restituisce il quoziente 3 (che nel DMSB deve essere scritto esattamente sopra la cifra 9 del dividendo) e il resto 13. Questo resto si ottiene sottraendo 66 da 79. 

A questo punto nell’algoritmo in colonna è richiesto di portare giù una cifra del dividendo (attraverso l’uso di un cappellino nella versione italiana e di una freccia nel DMSB) e gli studenti affermeranno che “questa mossa qua non l’ho mai capita”.

Dal confronto con la canadese emergerà proprio il significato di questo passaggio perché la prima sottrazione scritta nell'algoritmo canadese è 791 - 660, che dà 131, e questo pacchettino corrisponde al 79 - 66 che dà 13 nell’algoritmo in colonna. Gli studenti saranno portati ad osservare che quindi l’1 e lo 0 in realtà ci sono anche lì ma “sono nascosti”, “per comodità non si scrivono ma ci sarebbero”. 

Inoltre, guardando la canadese riportata nella prima foto vediamo che il primo multiplo del divisore è 22 ∙ 30 (in questo caso particolare, perché vista la libertà della canadese il multiplo sottratto dipende dalla scelta che è stata fatta dal solutore; tuttavia un discorso analogo si può fare in ogni caso), quindi il quoziente 3 trovato nell’algoritmo in colonna sta per 3 ∙ 10. Questo spiega perché nel DMSB deve essere scritto in quel punto specifico, che tiene conto del valore posizionale delle cifre. 

 

 

Nelle immagini seguenti, la divisione svolta è ancora 791 : 22 ma il confronto avviene con realizzazioni diverse della canadese. 

Si vede in maniera evidente che più è ottimizzato il numero di passaggi nella canadese, più il diagramma si presenta nella stessa forma degli algoritmi standard.

 

Infine, riportiamo alcune riflessioni degli studenti che confrontano i due algoritmi sul piano dell’efficienza, della trasparenza ed esprimendo giudizi di carattere valutativo. In linea con quanto ci aspettavamo, gli studenti hanno mostrato apprezzamento nei confronti della canadese e descritto l’algoritmo in colonna come più opaco rispetto ai significati matematici. Nella canadese, invece, ad ogni passaggio sembra essere più evidente cosa si sta facendo matematicamente.

 

 

 

 

 

Durante questa Fase 3 l’insegnante dichiara, con sincerità, agli studenti che la consegna è difficile, che gli sta chiedendo di fare una cosa da veri matematici e sottolinea, anche a più riprese, quanto sia importante capire e non solo memorizzare.

Alla fine, dopo aver fatto il confronto, l’insegnante valorizzerà ciò che è emerso dalla discussione ed esprimerà la sua soddisfazione agli studenti dicendo per esempio che hanno lavorato bene.

Questa è una fase delicata e centrale del percorso. È proprio il confronto con la canadese che porta gli studenti a riflettere sui perché dell’algoritmo in colonna e, di conseguenza, anche alla ricerca dei perché stessi. 

Osserviamo che si tratta di una procedura abbastanza opaca per quanto riguarda la matematica che c'è dietro. In particolare, i numeri coinvolti “nascondono” le potenze di dieci a cui sono effettivamente legati. Scoprire questi zeri nascosti permette di dare significato anche al fatto che alcune cifre del dividendo sono inizialmente ignorate e portate gradualmente in basso.

La maggioranza degli studenti riuscirà, dal confronto con la canadese, a dare un significato matematico a tutti i passaggi dell’algoritmo in colonna, grazie al lavoro di confronto e alla discussione in classe.

Inoltre, gli studenti prenderanno consapevolezza della distinzione tra riuscire e capire: si renderanno conto di essere stati fino a quel momento perfettamente in grado di eseguire bene tutti i passaggi dell’algoritmo standard, ma che non avrebbero saputo spiegare perché si fanno proprio quelle azioni.