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Fase 2 - Multipli interi nota la differenza

In questa fase si vuole proseguire con il lavoro sui problemi in cui sono note le relazione tra i dati. In particolare la relazione è di tipo “multiplo intero” e l’ulteriore informazione è la differenza invece che la somma.

L’insegnante propone agli studenti un problema e cerca poi di costruire insieme a loro una rappresentazione che diventi condivisa e strumento di pensiero, facendo tesoro anche di quanto visto nella fase 1 dove le relazione tra i dati erano sempre di tipo multiplo intero ma data la somma e non la differenza.

 

ATTIVITÀ

Risolvi il problema e spiega come hai ragionato, aiutati con una rappresentazione.

Considera due numeri. Uno è il triplo dell’altro. La loro differenza è 1462.

Trova i due numeri.

 

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L’insegnante concede il tempo necessario affinché ciascuno studente svolga il problema autonomamente, passa tra i banchi e osserva quali sono i ragionamenti e le rappresentazioni adottati da ognuno. Gli studenti faranno sicuramente molte domande, tuttavia è importante cercare di non rispondere in maniera troppo esplicita alle varie richieste di suggerimenti ma, per esempio, riformulare la consegna o il testo del problema con parole più semplici per renderlo maggiormente comprensibile. Nel caso specifico può essere utile verificare se gli studenti ricordano correttamente il significato della parola differenza.

 

Indicazioni per il docente

Quando la maggior parte degli studenti ha concluso l’attività, l’insegnante chiede loro di condividere la propria risoluzione. L’insegnante, passando tra i banchi durante il tempo del lavoro individuale, si fa un’idea della varie risoluzioni proposte, sia giuste che sbagliate, e cerca di dare spazio a tutte, riportandone alcune alla lavagna in modo che siano rappresentative dei vari ragionamenti emersi.

Infine incoraggia e guida la discussione collettiva, cercando di portare e mantenere il focus sui seguenti obiettivi (vai al video "La discussione matematica collettiva"):

• interrogarsi sul ruolo della rappresentazione nel processo risolutivo;

• far emergere diverse rappresentazioni che corrispondono a diversi ragionamenti;

• comprendere come la rappresentazione utilizzata per i problemi della fase1, in cui era nota la somma, vada modificata quando invece è nota la differenza;

• abituare gli studenti a spiegare e ad argomentare il proprio ragionamento;

• prendere consapevolezza che alcuni ragionamenti sono generalizzabili mentre altri, ad esempio tentativi ed errori, sono applicabili solo in determinati casi.

 

Cosa aspettarsi

L’introduzione di una nuova relazione tra i dati di cui non si conosce più la somma ma la differenza, non ha creato particolari difficoltà tra gli studenti delle classi sperimentali.

Tuttavia è interessante fermarsi a riflettere sulle diverse rappresentazioni emerse per interpretare la “differenza”. In particolare, possiamo dividere le rappresentazioni in due gruppi, come riportato nell’immagine sottostante tratta da alcune lavagne delle classi sperimentali. 

Nelle immagini di sinistra la differenza sembra essere stata tradotta nell’operazione di sottrazione, mentre gli studenti che hanno proposto le rappresentazioni di destra si sono riferiti alla differenza in termini di “quello che manca/quello che è in più”.

Le rappresentazioni di sinistra sono state le più diffuse nelle classi sperimentali. Questo è riconducibile alla difficoltà di rappresentare una sottrazione, ossia un’azione dinamica, in un disegno statico.

Dopo avere rappresentato la prima relazione espressa dal problema, ovvero che un numero è il triplo dell’altro, sul foglio si hanno 3 palline e 1 pallina, quindi la prima cosa che si visualizza sono 4 palline, ovvero la somma dei due numeri. Per riuscire a “vedere” la differenza in questa rappresentazione statica si è costretti a fare un salto interpretativo che porta a considerare 1 pallina come una parte delle 3 palline e non è né scontato, né banale.

Gli studenti tendono ad aggrapparsi quindi all’idea di differenza come una sottrazione ma questo richiede di rappresentare un’azione, quella di “togliere”, che viene tradotta così:

Dal punto di vista matematico questa rappresentazione può sembrare di fatto un tentativo di passaggio al linguaggio algebrico. Il problema principale associato ad una rappresentazione di questo tipo è legato al significato del risultato dell’operazione di sottrazione, ovvero quale oggetto rappresentano le due palline? Esse sembrano indicare un’altra quantità, che però non esiste! 

In termini non algebrici, non si riesce facilmente a rappresentare la sottrazione e la difficoltà principale è dovuta al fatto che si tratta di un’operazione dinamica, quindi è complesso descriverla in termini statici. 

L’insegnante, pur dando valore anche alla rappresentazione mostrata sopra in cui la differenza è tradotta in sottrazione, è importante che prediliga e promuova l’uso di rappresentazioni come le seguenti, dove la differenza è tradotta in termini di “quello che manca/quello che è in più” e le due palline che rappresentano la differenza sono di fatto una parte delle tre palline. 

 

CONCLUSIONI

Durante questa Fase 2 si sviluppa il lavoro su questo tipo di problemi e sull’uso della rappresentazione nel processo risolutivo, in continuità con quanto fatto nella fase precedente.

In particolare, l’obiettivo è generalizzare l’uso della rappresentazione costruita e condivisa all’interno della classe, in modo da poterla utilizzare per “ragionare” su questo tipo di problemi in cui è nota una relazione tra i dati del tipo “multiplo intero” e “differenza”.

È importante che l’insegnante prenda consapevolezza della difficoltà intrinseca della sottrazione, in modo da gestire la discussione in classe e le varie proposte di rappresentazioni possibili da parte degli studenti.

 

 

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2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.