Fase 3 - La carta d'identità dei quadrilateri

PER L'INSEGNANTE

Durante l’Attività 2 della Fase 1 dovrebbero essere emerse spontaneamente dagli studenti diverse definizioni possibili di altezza, che dipendono dal contesto in cui ci situiamo. L’insegnante, orchestrando e tirando poi le fila della discussione, dovrebbe aver guidato la classe a prendere consapevolezza che si possono distinguere principalmente due caratterizzazioni di altezza: una che ci serve nel contesto della matematica e un’altra a cui ci riferiamo nella vita quotidiana.

Queste due definizioni in alcuni casi coincidono ma non sempre, per questo motivo è importante problematizzare la questione e discutere con gli studenti, in modo da evitare il più possibile gli impliciti che spesso causano difficoltà.

In questa fase del percorso si riprende quella discussione matematica sul concetto di altezza, per approfondirla e analizzare nel dettaglio il caso dei quadrilateri. In particolare, proponiamo alcune attività che si basano sull’esplorazione di file GeoGebra opportunamente costruiti in cui si sfruttano le potenzialità dello strumento di trascinamento e della traccia per mediare meglio il concetto di altezza come “rappresentante di una famiglia di segmenti”. Per esempio, se nella Fase 0 era emersa l’idea di altezza come "quel segmento che individua l’altezza della striscia”, l’esplorazione dei file GeoGebra, attraverso il trascinamento e la mediazione dell’insegnante, aiuteranno gli studenti a capire meglio e interiorizzare il concetto di striscia e a fare il salto da segmento a famiglia di segmenti.

Inoltre, osserviamo che nella caratterizzazione di altezza mediante la striscia, ci sono infinite altezze rispetto a ogni lato (rispetto al quale è definita la striscia) ma, per quanto riguarda la misura, esse sono tutte equivalenti quindi possiamo riferirci a un “rappresentante”, soprattutto nel caso in cui l’altezza serva per il calcolo dell’area. Il ruolo del rappresentante può essere giocato da uno qualsiasi dei segmenti, ma i matematici tendono a sceglierne uno specifico.

Riflettiamo brevemente su altri due aspetti di questo percorso che l’insegnante deve tenere presente, non perché vengano condivisi direttamente con gli studenti ma per gestire al meglio le discussioni di classe.

Il primo aspetto riguarda i poligoni con più di 4 lati. Essi non possono essere inscritti in alcuna striscia e quindi non hanno altezze secondo questa definizione. I quadrilateri, invece, devono essere “almeno un trapezio”, cioè avere almeno una coppia di lati paralleli. Tali osservazioni emergeranno spontaneamente dagli studenti ma è importante che l’insegnante le riprenda e le valorizzi. Nella seguente registrazione è possibile ascoltare un breve estratto di una lezione in una classe sperimentale in cui uno studente ha sollevato la questione dell’esistenza o meno dell’altezza nel caso di poligoni generici chiedendo “se si può calcolare l’altezza, vuol dire che la figura avrà per forza due lati paralleli?”. Già da questo breve audio, riportato a titolo di esempio, si può osservare il ruolo delicato dell’insegnante nella gestione della discussione e alcune scelte che opera.

Un caso particolare è poi quello del rombo, per il quale si parla molto poco di altezza nei libri di testo, mentre nel file GeoGebra dedicato si introdurrà l’idea di striscia anche in questo caso. Questo permette quindi di usare poi la formula del calcolo dell’area, pensando il rombo anche come un parallelogramma.

Il secondo aspetto riguarda la perpendicolarità. È un tema delicato perché spesso molti studenti incontrano serie difficoltà a individuare la perpendicolarità, non avendo ancora sviluppato un “occhio matematico” allenato a vedere l’angolo retto. Introducendo l’altezza nel modo che proponiamo è a carico del software di geometria dinamica il fatto che l'altezza sia il segmento minimo “perpendicolare” ai lati della striscia. Di conseguenza, è probabile che sia necessario che l’insegnante problematizzi la questione, per esempio attraverso domande del tipo “come ho fatto secondo voi a costruire nel file questo segmento?”. Gli studenti potrebbero infatti non vedere questa proprietà in particolare nei primi file, relativi al quadrato e al rettangolo; l’esplorazione del rombo, e poi del parallelogramma, possono giocare un ruolo fondamentale per lavorare in questa direzione. La Proposta di consolidamento dopo l’Attività 1 è progettata con l’obiettivo di promuovere questa presa di consapevolezza da parte degli studenti che per disegnare l’altezza fanno esperienza della necessità di imporre la perpendicolarità, per esempio attraverso l’uso della squadretta.

Infine, concludiamo questa sezione discutendo alcune potenzialità del software scelto. L’uso di un mediatore didattico comune di cui parlare, come i file di GeoGebra proposti nelle prossime attività, permette all’insegnante di confrontare quello che vedono i diversi studenti della classe e quello che vede invece l’insegnante stesso. Ciò che “vede” l’insegnante potrebbe discostarsi di molto da quello che “vedono” i diversi studenti che hanno esperienza e background alle spalle differenti.

Un file GeoGebra da commentare consente quindi di arrivare a concetti teorici lavorando su cose accessibili e di mettersi in relazione con una matematica molto profonda, offrendo a ciascun studente riflessioni del livello per cui è pronto in quel momento, pur facendo sempre la stessa attività con tutta la classe (quelle attività note in letteratura come con “pavimento basso e soffitto alto”).

Le stesse attività sono state proposte nelle nostre ricerche a diversi livelli scolari, dalla scuola primaria ai corsi universitari, alla formazione insegnanti. Ovviamente le osservazioni che emergono sono molto diverse perché ognuno interagisce con i file a seconda del bagaglio teorico che ha in quel momento. Questo però dimostra la grande potenzialità a livello di inclusività di un lavoro di questo tipo. Tutti gli studenti riescono a manipolare i file e a parlare di cose matematicamente rilavanti, sentendosi coinvolti nella lezione e sviluppando “occhio matematico”. A tal proposito è più volte accaduto che studenti dislessici, in difficoltà con il linguaggio, si appoggiassero alle immagini dei comandi del menu di GeoGebra per recuperare la parola matematica corretta relativa al concetto che volevano esprimere (ad esempio cercando il simbolo di perpendicolare, per appoggiare sopra il mouse e recuperare il termine “perpendicolarità”). Gli studenti che possono spingersi invece a riflessioni più profonde hanno tutto lo spazio per esplorare una geometria più complessa e per dialogare con l’insegnante ad un livello più elevato. Le consegne sono infatti ricche di spunti di riflessione e permettono di toccare concetti correlati che vanno anche molto al di là degli obiettivi della singola lezione. È importante che l’insegnante colga e valorizzi tutta questa ricchezza.

Spesso GeoGebra, o in generale i software di geometria dinamica, vengono utilizzati invece come amplificatore visivo e non come strumento funzionale. Sicuramente le schede proposte puntano più sulla scoperta delle proprietà delle varie figure piane, ma è importante che l’insegnante sia consapevole del “tetto” fino al quale ci si può spingere.

Merita infine una riflessione anche il linguaggio. Le riflessioni degli studenti verranno prodotte con un linguaggio informale, che nasce spontaneo nel contesto, chiamato in ricerca “linguaggio situato”. L’importante lavoro dell’insegnante sarà cercare di far emergere, poco per volta, la necessità di un linguaggio comune e più preciso e guidare quindi il passaggio da una “parola situata” ad una “definizione matematica”.

ATTIVITÀ 1

Di seguito riportiamo varie attività articolate nelle relative schede e file GeoGebra, una per ogni quadrilatero. ...Leggi tutto

► Proposte di consolidamento

ATTIVITÀ 2

Di seguito riportiamo alcune attività per ragionare sulle relazioni che intercorrono tra i vari quadrilateri, che sono articolate nei seguenti file GeoGebra...Leggi tutto

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2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.