Fase 0 - Scrittura matematica del risultato di una divisione in N. Il resto: dove metterlo?

In questa fase si riflette, a partire da una situazione problematica, sulla scrittura matematica del risultato di una divisione in N. In particolare, si pone l’attenzione sul significato del resto nel contesto del problema proposto.

ATTIVITÀ

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Indicazioni per il docente

L’insegnante concede il tempo necessario affinché ciascuno studente svolga il problema autonomamente. Particolare importanza ha chiedere agli studenti se riescono a dare le risposte senza fare davvero la conta per spronarli ad una generalizzazione, che considera la divisione in N come operazione che permette di rispondere al problema.
Quando la maggior parte degli studenti ha concluso l’attività, l’insegnante chiede loro di condividere la propria risoluzione, favorendo la discussione collettiva e guidandola cercando di portare e mantenere il focus sugli obiettivi.

Gli obiettivi principali di tale discussione sono:

far emergere dagli studenti un modo matematicamente corretto per scrivere il risultato della divisone con resto non nullo in N;
riflettere sul fatto che la scrittura “16 : 5 = 3 r1” è matematicamente scorretta. Il simbolo di uguaglianza è usato in modo improprio in quanto 16 : 5 non è equivalente a 3, e “r1” si riferisce al numero naturale 1 che non può figurare da un lato dell'uguaglianza. Tutta la parte a destra dell'uguale non è scritta come un'espressione numerica equivalente a quella di sinistra. Questo uso procedurale del simbolo di uguaglianza è molto diffuso, cioè l’uguale è come un prompt che porta a svolgere una procedura di cui a destra si vogliono mettere i risultati e a sinistra gli input.
Rispetto a questa scrittura ci sono almeno due aspetti a nostro avviso rilevanti che vengono messi in luce dalla letteratura. Il primo è che spesso “16 : 5 = 3 r1” viene trasformata dagli studenti in "16 : 5 = 3 + 1", che sicuramente è scorretta perché a sinistra e a destra dell'uguale ci sono quantità diverse (il numero razionale 16 : 5 o 16 / 5 non è uguale a 4). Il secondo è che molti studenti identificano il resto con la parte decimale del quoziente. Per esempio, in questo problema potrebbero essere portati a scrivere che il risultato decimale di 16 : 5 sia 3,1. A questo proposito, nel caso in cui si decidesse di cambiare il problema, prestare attenzione alla scelta dei numeri: è consigliato evitare quei casi in cui il resto coincide casualmente con la parte decimale. Per esempio, 32 : 10 = 3,2 oppure 32 = 10 ∙ 3 + 2;
utilizzare eventualmente l’escamotage dello studente straniero che non capirebbe il significato della scrittura a destra dell'uguale, perché si aspetterebbe di vedere un'espressione numerica equivalente a quella a sinistra del segno = ;
accennare al fatto che la stessa divisione in Q avrebbe come risultato 3,2 ma che in N tale numero non esiste. In particolare in questo caso ci si può aiutare con il contesto: nella conta di Marco per decidere “chi sta sotto” a nascondino, un numero decimale sarebbe privo di significato (vai a Confronto di algoritmi in Q).

Cosa aspettarsi

Nella discussione si consiglia di partire con chi ha preferito contare, per spostarsi poi in un secondo momento agli studenti che sono stati in grado di generalizzare. Per spingere la discussione verso la scrittura matematica, si può chiedere come scriverebbero il loro ragionamento per un amico immaginario che non parla la nostra lingua e con il quale l’unica lingua in comune è il “matematichese” (nelle classi sperimentali gli studenti hanno scelto di chiamare l’amico immaginario Arioki o Abdul o Yuri, talvolta nelle foto compariranno questi nomi).

La scrittura matematica del risultato che vogliamo promuovere e che fornisce più informazioni per rispondere alle domande del problema è “16 = 5 ∙ 3 + 1”. Essa, infatti, permette di rappresentare la situazione mettendo in evidenza che, dopo tre giri di conta da parte di Marco, rimane ancora una sillaba della filastrocca e quindi toccherà a Cristina cercare i compagni.

Sono da valorizzare, per esempio riportandole alla lavagna, anche le altre scritture, come “16 : 5 = 3,2” oppure "”, che sono altrettanto corrette dal punto di vista matematico e vengono solitamente proposte da alcuni studenti. Tuttavia, è importante discutere e sottolineare in classe che tali scritture potrebbero servire in altri contesti ma non aiutano molto a risolvere questo problema della conta.

È importante invece che alla fine della discussione gli studenti siano convinti della scorrettezza dal punto di vista matematico della scrittura “16 : 5 = 3 r1” che a destra del simbolo di uguaglianza non riporta un'espressione numerica equivalente a quella di sinistra. Questo aspetto è delicato ma molto importante e lo riprendiamo a più riprese in questo percorso (per esempio: Confronto di algoritmi in Q).

Dalla lavagna di una lezione, con qualche commento degli studenti.

CONCLUSIONI

Nel contesto dei numeri naturali, tutte le divisioni hanno come risultato due numeri: un quoziente e un resto. Nel nostro esempio, la divisione 16 : 5 ha come quoziente 3 e come resto 1. Se fossimo nell’insieme dei numeri razionali, potremmo dire che il quoziente della divisione è il numero razionale 3,2. Se siamo invece nell’ambito dei numeri naturali, allora il quoziente di tale divisione semplicemente non esiste! Matematicamente si dice che l’insieme dei numeri naturali non è chiuso rispetto alla divisione. È facile osservare, infatti, che non sempre il risultato della divisione tra due numeri naturali è un numero naturale. Questo accade se e solo se il dividendo è un multiplo del divisore.

In questa parte il focus vuole essere principalmente sulla corretta scrittura matematica del risultato di una divisione in N. La risposta al problema è data dal resto, tuttavia durante la discussione l’insegnante cerca di supportare spiegazioni che danno senso all’intera scrittura del dividendo come prodotto di quoziente per divisore, più il resto.

Problemi di questo tipo lasciano comunque spazio a belle discussioni sull’opportunità di "continuare la divisione" in Q o sulla necessità di arrotondare per difetto o eccesso il risultato per dare una risposta sensata rispetto al contesto. L’insegnante valorizza questi discorsi che saranno ripresi in un secondo momento, quando si approfondirà il passaggio dalla divisione in N alla divisione in Q (Fase 3 del Confronto di algoritmi in Q).

► Proposte di consolidamento

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1 Il problema è tratto da: Giochi Matematici 2009, Quaderno a Quadretti

2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.