Le teorie del successo di uno studente, da un lato influenzano il suo senso di autoefficacia, dall’altro lato si intrecciano con la visione della matematica che la sua esperienza personale lo sta via via portando a sviluppare. Se l’alunno associa il successo con la produzione di risposte corrette, fornite nel minor tempo possibile, allora la sua visione della matematica sarà quella che Skemp (1976) ha definito come strumentale, ovvero fatta di regole da memorizzare ed applicare ad esercizi ripetitivi, in cui l’errore è qualcosa da evitare e il tempo a disposizione è limitato.

Riprendiamo ancora una volta le parole di alcuni studenti delle classi sperimentali:

«… in quarta elementare tutti erano più bravi di me ma io non riuscivo a ricordare tutte le formule, le operazioni, le regole».

«Quando mia mamma mi ha fatto vedere la calcolatrice che userò alle medie, mi sono detto che non sarei riuscito a memorizzare TUTTE le formule».

«A me non piace molto la matematica perché è molto difficile ricordare tutte le formule, le regole. Anche se i maestri dicono che sono brava, a me non piace la matematica».

«All’inizio mi sembrava solo una serie di numeri e regole inutili ma accendendo il cervello capii che era una materia interessante, in cui dovevi ragionare».

Considerare la matematica come fatta di regole, generalmente non giustificate e non collegate tra loro, ma da memorizzare e replicare, è una credenza sociale molto forte e ancora diffusa in contesti di insegnamento-apprendimento.

Per esempio, l’uso della parola “regola”, diffuso nel parlato ma anche nei libri di testo, per indicare indistintamente convenzioni, definizioni, teoremi, algoritmi, non permette di cogliere i perché che stanno dietro le varie tipologie di enunciato. E cosa succede poi di fronte a una situazione che non è affrontabile con una “regola”, come ad esempio di fronte a un problema?

Se non si costruisce progressivamente la consapevolezza che i fatti matematici possono avere origine da diverse motivazioni, non si può cogliere la rete di relazioni che li lega uno all’altro, ovvero non si riuscirà a costruire una visione relazionale della matematica. La prima conseguenza sarà quindi che la matematica viene vista come una serie di fatti scollegati tra loro, di regole da memorizzare, prive di significato, ma che garantiscono la risposta esatta se applicate correttamente. (Di Martino & Zan, 2019a).

L’approccio opposto a quello strumentale si definisce pertanto relazionale (Skemp, 1976) e mira a valorizzare i collegamenti tra i vari fatti matematici, i processi che li originano e soprattutto i perché e dunque il senso di quello che si sta facendo. Secondo Skemp tale approccio è quello che riflette l’idea di matematica che hanno i matematici stessi che pone l’attenzione sui processi quali congetturare, dimostrare, definire, rappresentare. Questi processi sono messi in moto dai problemi che il matematico esperto si pone e affronta e che sono il cuore di questa disciplina (Di Martino & Zan, 2019). Ricordiamo che promuovere una visione relazionale della matematica non è in contraddizione con l'insegnamento di algoritmi, purché sia data sempre agli studenti la possibilità di esplorare e capire "i perché" dietro a passaggi apparentemente oscuri. Tra i percorsi proposti su questo sito ci sono attività che lavorano proprio in questa direzione (si veda per esempio il percorso sulla divisione).

Le proposte didattiche di questo percorso intendono essere coerenti con una visione relazionale della matematica e si pongono l’obiettivo di promuoverla anche negli studenti. La visione della disciplina che verrà sviluppata dagli studenti è infatti fortemente influenzata dai messaggi, siano essi espliciti o impliciti, veicolati dall’insegnante.
Osserviamo che gli obiettivi a lungo termine delle Indicazioni Nazionali sono coerenti con un approccio relazionale alla disciplina, mentre apparirebbero incompatibili con un approccio strumentale.