I PROBLEMI > FASE 3 > ATTIVITÀ 1

 

ATTIVITÀ 1

Risolvi il problema e spiega come hai ragionato.

La somma di due numeri è 174. Un numero supera di 3 il doppio dell’altro.

Trova i due numeri.

 

⤓ Clicca qui per scaricare  

 

Indicazioni per il docente

L’insegnante concede il tempo necessario affinché ciascuno studente svolga il problema autonomamente, passa tra i banchi e osserva quali sono i ragionamenti e le rappresentazioni adottati da ognuno. Gli studenti faranno sicuramente molte domande, tuttavia è importante cercare di non rispondere in maniera troppo esplicita alle varie richieste di suggerimenti ma, per esempio, riformulare la consegna o il testo del problema con parole più semplici per renderlo maggiormente comprensibile. 

Come nelle fasi precedenti di questo percorso, è molto importante che l’insegnante non fornisca una rappresentazione, che altrimenti diventerebbe artificiale, ma deve piuttosto valutare quello che nasce spontaneamente dagli studenti e insieme a loro riadattarlo al contesto. 

È importante che gli studenti si scontrino con la difficoltà di dover usare rappresentazioni diverse per le relazioni come “il doppio di…” e “supera di 2” in modo da evitare di confondersi e il ruolo dell’insegnante è quello di guidarli nella gestione di queste due rappresentazioni: pensare all’operazione di fare il doppio e condensarla in un prodotto “per 2”, in cui il 2 diventa un fattore, involve un processo diverso dal considerare 2 come numero. Infatti, spesso la parola “doppio” viene riconosciuta lessicalmente come traducibile con “2”, ma la traduzione dovrebbe coinvolgere una relazione tra numeri, non solo una traduzione da parole a numeri.

La scelta didattica che è stata operata è quella di dare prima un problema con la relazione “supera di 3 il doppio” rispetto ad un problema con solo “supera di 3”, per avere un aggancio con i problemi visti nelle fasi precedenti. Inoltre questa scelta permette di porre lo studente di fronte a due diverse rappresentazioni che coinvolgono il numero 2: la prima in cui 2 ha valenza di doppio (esempio: "il doppio di un numero n" è 2n), la seconda in cui il 2 ha valenza di due unità (esempio: "supera di 2 un numero n" è 2+n).

Gli obiettivi principali di tale discussione sono:

• interrogarsi sul ruolo della rappresentazione nel processo risolutivo;

• far emergere diverse rappresentazioni che corrispondono a diversi ragionamenti;

• prendere consapevolezza della necessità di rappresentazioni diverse per le relazioni “il doppio di…” e “supera di 2” oppure “il triplo di…” e “supera di 3”;

• abituare gli studenti a spiegare e ad argomentare il proprio ragionamento.

 

Cosa aspettarsi

Nelle classi sperimentali il problema proposto ha generato discussioni molto belle e produttive che hanno portato gli studenti a costruirsi da soli uno schema risolutivo. Tutti gli studenti, anche i più deboli, già durante il lavoro individuale hanno provato a cercare una propria rappresentazione.

In generale l’errore che ci si poteva aspettare (vedi foto lavagna), ovvero che il secondo numero venisse rappresentato con 5 palline, è stato riscontrato ma in nessuna classe è stato molto diffuso. Anche chi ha proposto di dividere 174 per 6, ha abbandonato molto presto questa idea di risoluzione, dopotutto con il controllo ci si rende conto abbastanza facilmente che i numeri trovati non rispecchiano i requisiti del problema.

 

La necessità di dover produrre dei segni diversi dalla pallina per il “supera di tre” è stata subito colta dalla maggior parte degli studenti. 

In un primo momento qualche studente ha proposto di fare delle palline più piccole e colorate per indicare il “supera di tre” ma poi quasi tutti hanno preferito scrivere proprio +3 in notazione simbolica. 

 

 

Nella discussione tra loro in classe, attraverso cui hanno spiegato ai compagni perché non andasse bene usare 5 palline per il secondo numero o perché preferissero usare il +3 in cifra, parlavano spesso in questi termini:

“È +3 come numero”

“Non è 3 come triplo”

 

Per quanto riguarda invece la rappresentazione con le 3 palline più piccole e colorate, ancora una volta l’argomentazione è stata molto interessante perché non si basava sul fatto che tale rappresentazione non andasse bene ma sul fatto che fosse poco efficace, ovvero una riflessione sull’efficacia della rappresentazione come strumento di pensiero.

“In quel modo si confonde con il quintuplo”

 

Questa è la risoluzione condivisa alla quale si è arrivati nelle classi sperimentali:

 

      

 

Vale la pena fare un’osservazione riguardo alla rappresentazione nel caso della sottrazione (Fase 2), in cui si rifletteva sulla difficoltà di rappresentare un’azione in modo statico. Come è possibile osservare anche nella lavagna della figura precedente, quasi tutti gli studenti hanno avuto bisogno di fare un doppio passaggio: dopo aver sottratto 3 a 174 hanno disegnato una rappresentazione “aggiornata”, cioè fatta solo di palline e con totale 171. Si sono in questo caso ricondotti esattamente al tipo di problemi della Fase 1.

Per rappresentare lo stesso processo qualche studente, invece, cancellava a destra e sinistra nella rappresentazione di partenza affermando: “Se aggiungendo 3 arrivo a 174, allora senza il +3 era 171”.

È interessante riflettere sulla difficoltà linguistica di frasi come “supera di 3 il doppio di…”, infatti la struttura linguistica non corrisponde alla struttura matematica, ma la inverte. Matematicamente il processo è “prendo un numero, faccio il doppio, aggiungo 3” mentre la frase si allontana dal processo, non essendone una traduzione letterale. L’idea del doppio passaggio nella rappresentazione va a ricreare il processo a partire da una rappresentazione espressa in termini di relazione tra i numeri. 

Ai nostri occhi più esperti, questi comportamenti sono il seme del primo principio di equivalenza delle equazioni. Si tratta quindi di ragionamenti molto profondi dal punto di vista matematico che qui possono sorgere spontaneamente dagli studenti a partire dal senso. È forte infatti il valore semantico della frase: “Se aggiungendo 3 arrivo a 174, allora senza il +3 era 171”. Tali semi verranno poi raccolti al momento opportuno nel contesto dell’algebra.

 

Vai all'Attività 2 ➜

 

2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.