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ATTIVITÀ 2

Risolvi il problema e spiega come hai ragionato.

La famiglia Rossi domenica è andata al cinema: papà, mamma e i due figli. 

Per i biglietti hanno speso in tutto 36€. Il biglietto ridotto per ragazzi costa 4€ in meno del biglietto intero. Quanto costa il biglietto ridotto per ragazzi?

 

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Indicazioni per il docente

L’insegnante guida la discussione cercando di sottolineare e riprendere gli interventi degli studenti che possono portare verso il raggiungimento degli obiettivi, cercando allo stesso tempo di fare in modo che siano coinvolti più studenti possibile.

Gli obiettivi principali della discussione sono:

• interrogarsi sul ruolo della rappresentazione nel processo risolutivo;

• far emergere diverse rappresentazioni che corrispondono a diversi ragionamenti;

• vedere se e come gli studenti riescono a gestire anche una nuova locuzione come “costa 4€ in meno di…” in una situazione problematica più complessa;

• abituare gli studenti a spiegare e ad argomentare il proprio ragionamento.

 

Cosa aspettarsi

In tutte le classi sperimentali il problema proposto ha dato origine ad almeno 2 diversi ragionamenti risolutivi, in alcuni casi anche 3, tutti molto interessanti dal punto di vista didattico. Circa un 30% degli studenti non è riuscito a risolvere il problema, ma si è detto convinto di aver capito una delle strategie proposte dai compagni.

Le diverse risoluzioni emerse durante la discussione in classe sono state raccolte alla lavagna e gli studenti hanno dato loro dei nomi per identificarle più velocemente: “come tutti biglietti interi”, “come tutti biglietti ridotti”, “una media”.

 

 

Nelle foto dei quaderni dei ragazzi riportate di seguito, troviamo la spiegazione delle varie strategie. 

In particolare nella strategia “come tutti biglietti interi” gli studenti parlano di aggiungere 8 “perché volevo trovare un biglietto intero facendoli tutti e quattro biglietti interi”.

 

 

Molto bello è anche il protocollo sottostante, di una ragazza che parla di aggiungere “8 invisibili” e di “prestare 8 all’intero e dopo toglierlo”. L’occhio più esperto può sicuramente riconoscere in queste operazioni, a destra e sinistra delle parentesi graffe, il seme del primo principio di equivalenza delle equazioni. In realtà il ragionamento in questo caso è molto più a livello semantico perché questo +8 non indica proprio un aggiungere 8 da entrambe le parti: “di là manca 8, se aggiungo 8 è come se avessero pagato tutti come adulti” spiega a voce la studentessa ai compagni.

Nei principi di equivalenza delle equazioni, che sono operazioni sintattiche, ovvero manipolazioni simboliche, la metafora “porto di là” semplifica un processo rendendolo più veloce ma spesso facendolo diventare un automatismo tale per cui “se porto di là, magicamente il segno cambia”. In questo caso invece gli studenti hanno costruito il senso della loro azione, anzi l’azione è nata dal significato, dal lavoro semantico fatto sulla rappresentazione.

 

 

Nella seconda strategia “come tutti biglietti ridotti”, nonostante nel testo del problema ci fosse scritto che il biglietto ridotto per ragazzi costa 4€ in meno, alcuni studenti ristrutturano la frase, sganciandosi dalle parole chiave, e rappresentano il biglietto intero che costa 4€ in più di quello ridotto, considerando come “incognita” proprio il biglietto ridotto. Stanno usando la rappresentazione in modo assolutamente personale, a testimonianza del fatto che è diventata per loro un vero e proprio strumento di pensiero.

 

 

 

L’errore più comune è stato, invece, dividere subito 36 per 4 (36:4=9€) e poi calcolare il biglietto intero facendo 9+4=13€ e quello ridotto come 9-4=5€. In questo caso il controllo sul totale non fa prendere consapevolezza dell’errore, quindi è servito il contributo dei compagni per generare un conflitto cognitivo. Dalla discussione è emerso come la differenza tra i due biglietti non fosse più di 4€ bensì di 8€ (13-5=8) e, per giustificare il fatto che non si possa procedere subito con la divisione, gli studenti hanno usato frasi del tipo:

“Pallina -4 vuol dire che alla pallina ne è stato mangiato un pezzetto e quindi non sono palline tutte uguali perché alcune sono mangiucchiate! Finché le palline non sono tutte uguali, non puoi dividere”.

 

Proprio da questo errore è nata la terza strategia, quella del “biglietto medio”. Alcuni studenti hanno corretto il loro errore iniziale attuando una sorta di ribilanciamento: il biglietto medio è come un’entità provvisoria che non esiste ma che serve per pensare. 

   

 

Concludiamo con una riflessione sul fatto che da un errore è nato poi un ragionamento molto raffinato, ma che tale ragionamento funziona solo perché, in questo caso specifico, il numero di biglietti interi è uguale al numero di biglietti ridotti.

Per far prendere consapevolezza agli studenti che si trattava di un caso particolare, è stato assegnato per casa un problema simile, in cui il numero di biglietti interi era diverso dal numero di biglietti ridotti (Proposte di consolidamento - problema biglietti aerei).

 

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2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.