Didattica della Matematica Inclusiva
nella scuola secondaria di primo grado
ATTIVITÀ 1
Questa attività non ha una vera e propria consegna per gli studenti, ma viene gestita dall’insegnante attraverso la discussione in classe.
Per preparare il terreno per tale discussione, l’insegnante riprende i fogli circolari su cui avevano lavorato gli studenti nell’Attività 1 della Fase 1 (potrebbe tornare utile rivedere il “cosa aspettarsi” per impostare il lavoro). Per esempio, potrebbe scansionare le produzioni degli studenti e organizzare poi alcune slide per avviare la discussione di classe a partire da ciò che era stato fatto dai ragazzi stessi all’inizio di questo percorso. Alla luce di tutte le attività svolte e del focus fatto sul concetto di altezza nel caso dei quadrilateri, si propone un confronto sulle produzioni degli studenti e si riprende la riflessione sull’uso del termine altezza in matematica e nella vita quotidiana, focalizzando l’attenzione al caso dei triangoli.
Con questa attività l’insegnante guida gli studenti alla formulazione delle due definizioni di altezza rispetto a un lato del triangolo: quella “standard” che comunemente si trova nei libri di testo di matematica e quella che si riferisce al triangolo inscritto in una striscia (vedi Fase 1). Rispetto alle riflessioni fatte nel caso dei poligoni, si osserva che per il triangolo la definizione standard coincide con l’uso che facciamo della parola altezza nella vita quotidiana.
Segmento perpendicolare ad un lato, o al suo prolungamento che passa per il vertice non contenuto in quel lato (vertice opposto).
- Famiglia di tutti i segmenti che individuano l’altezza di una striscia in cui è inscritto il triangolo.
La seconda definizione è più simile a quella diffusa nella vita quotidiana e a quella usata fino ad ora per i quadrilateri (dove non esiste il “vertice opposto ad un lato”), mentre la prima definizione è quella che gli studenti potrebbero aver incontrato alla scuola primaria, o in disegno tecnico, e che troviamo nei libri di testo. Questa definizione, infatti, è più diffusa e spesso utilizzata dai geometri perché permette di avere un solo rappresentante di altezza e quindi di notare una proprietà interessante, ovvero che le tre altezze di un triangolo passano tutte sempre per uno stesso punto.
A supporto di queste definizioni, forniamo due file GeoGebra che ne mettono in evidenza il protocollo di costruzione:
Per continuare con la discussione, suggeriamo all’insegnante di far riflettere gli studenti in classe su quali dei segmenti delle seguenti figure (riprese da un articolo di Sbaragli (2017, p. 234-235)) rappresentano delle altezze secondo le due definizioni che stiamo prendendo in considerazione.
Indicazioni per il docente
Come per i quadrilateri, nella definizione mediante “la striscia”, ci sono infinite altezze rispetto a ogni lato, ma per quanto riguarda la misura esse sono tutte equivalenti quindi possiamo riferirci a un rappresentante, soprattutto nel caso in cui l’altezza ci servirà per il calcolo dell’area.
Merita una riflessione anche il numero di altezze di un triangolo: non una ma tre, o almeno un rappresentante per ogni base. Gli studenti che hanno svolto tutto il percorso didattico fin qui proposto dovrebbero essere ormai abituati a considerare che una figura geometrica possa avere più di una altezza.
La definizione di altezza mediante il concetto di striscia aiuta moltissimo ad accettare l’idea che l’altezza possa cadere “fuori dal triangolo”, come nel caso di triangolo ottusangolo.
Per esempio, il segmento nella figura 6 è un rappresentante di altezza per la definizione 2 (striscia), ma non lo è per la definizione 1 perché non passa per il vertice opposto al lato.
Riteniamo significativa infine una riflessione sul fatto che in matematica si possono dare più definizioni di uno stesso oggetto matematico ma che poi è importante essere coerenti con la definizione scelta. Alcune definizioni infatti sono più comode o più funzionali in determinati casi, altre in altri.
Cosa aspettarsi
Riportiamo di seguito alcuni commenti raccolti nelle classi sperimentali in merito alle 6 figure dell’immagine sopra riportata. I virgolettati indicano espressioni degli studenti.
In generale Fig. 1 e Fig. 4 non danno problemi perché sono le configurazioni più note e con cui gli studenti hanno ormai molta confidenza.
Fig.2
“Può essere un’altezza perché ci sta nella striscia, mentre per l’altra definizione no perché andrebbe fino al vertice”
“Non è un’altezza secondo la prima definizione perché non passa per il vertice opposto”
Fig. 3
Il dubbio di alcuni studenti, che non hanno ancora un occhio matematico allenato a riconoscere la perpendicolarità, è se il segmento forma o meno un angolo di 90° gradi con la base. C’è chi gira la testa per provare a visualizzare meglio, chi chiede di fare delle prove con la squadretta. L’insegnante potrebbe allora chiedere, se già non emerso come risposta spontanea, se per caso qualcuno ha una risposta convincente: “Cadrebbe nel mezzo del lato se fosse perpendicolare, perché il triangolo è isoscele”.
Fig. 5
“Per la prima definizione non è di sicuro, ma nemmeno per la seconda perché gli manca un bel pezzo per arrivare all’altro lato della striscia”
Fig.6
“Va bene solo per la definizione con la striscia”
“Ma va bene anche per l’altra definizione, perché è lunga uguale”
“Allora andrebbe spostata per farla passare dal vertice”
“Sì è un’altezza perché crea un angolo di 90 gradi con la base sotto e sta dentro la striscia”
“E’ come nella figura 2 solo poco più spostata”
2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.