Didattica della Matematica Inclusiva
nella scuola secondaria di primo grado
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Fase 4 - Riassumiamo i perché nascosti
In questa ultima fase, l’obiettivo è riassumere quanto scoperto chiedendo agli studenti di scrivere insieme una mail di risposta a Nadège. L’obiettivo della mail è spiegare quanto è stato capito dalla classe attraverso il confronto tra algoritmi, cercando di far emergere tutti i significati matematici che sono alla base del funzionamento dell’algoritmo in colonna italiano.
ATTIVITÀ
Proviamo a scrivere una mail di risposta da mandare a Nadège per spiegarle l’algoritmo in colonna utilizzato in Italia. Possiamo sfruttare il confronto con l’algoritmo canadese che ci ha aiutato a capire meglio i “perché” dei vari passaggi.
L’insegnante prepara una slide con la divisione 474 : 17 inviata da Nadège nella sua lettera di risposta al problema (vedi Fase1). Nella slide, ai due algoritmi canadesi proposti “longer way” e “faster way” affianca l’algoritmo in colonna italiano.
L’insegnante avvierà quindi la discussione sulle cose più importanti da riferire a Nadège.
NB: Se a prima vista l’algoritmo utilizzato dalle classi sperimentali (quello a sinistra nell’immagine) chiamato con l’acronimo DMSB può sembrare leggermente diverso da quello tradizionalmente utilizzato in Italia, in realtà si tratta solo di una questione di convenzione sulla rappresentazione e posizione dei numeri.
Indicazioni per il docente
L’insegnante costruisce alla lavagna una sorta di “scaletta” per la mail di risposta a Nadège, in cui raccoglie tutti i punti suggeriti dai vari studenti. È importante dare valore a quanto espresso da ciascuno di loro ed invitarli a discutere su quali siano gli elementi più importanti da inserire.
L’obiettivo principale di tale discussione è riassumere i significati matematici scoperti durante le fasi precedenti del percorso:
-
l'individuazione degli zeri “nascosti” o “immaginari” dell’algoritmo in colonna;
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in che senso si possono “portare giù” progressivamente le cifre del dividendo;
-
la centralità della notazione decimale posizionale;
-
la canadese ottimizzata compie esattamente gli stessi passaggi dell’algoritmo in colonna.
Cosa aspettarsi
Se nelle fasi precedenti del percorso, in particolare durante il confronto, si è insistito sulla ricerca e l’esplicitazione dei perché nascosti, allora gli studenti presteranno molta attenzione a non fare un semplice elenco dei passaggi da eseguire nell’algoritmo, ma cercheranno di rendere esplicito quanto capito.
Ad esempio, in una classe sperimentale quando uno studente ha proposto uno schemino dei passaggi del DMSB, subito un compagno è intervenuto riportando il focus sui “perché”.
Schema proposto da uno studente per spiegare i passaggi dell’algoritmo in colonna DMSB e risposta di un compagno di classe.
Continuando la discussione sullo schema proposto dal compagno, uno studente ha scritto in chat1:
“Sì ma se Nadège è la prima volta che lo fa si confonde con quel bring down2”
Ins: “Dicci, in cosa si confonde con il bring down secondo te?”
Stud1: “Perché cioè se fosse la prima volta che uno vede quella freccia non capirebbe secondo me”
Ins: “Eh…”
Stud1: “Perché una freccia non sarebbe molto matematico, non spiega bene cosa sta succedendo in realtà”
Ins: “Quindi tu dici bisogna spiegarglielo noi bene?”
Stud1: “Eh sì”
Ins: “Sono d’accordo”
Nel seguente estratto è possibile leggere come una studentessa, guidata dall’insegnante, sia arrivata ad esplicitare alcuni importanti perché nascosti dietro l’algoritmo in colonna.
Stud2: «47 sarebbe 474 e non lo scriviamo il 4, appunto come abbiamo detto prima e 34 sarebbe 340 perché 474 meno 340 fa 134. Così Nadège non si confonde e un po’ la aiutiamo, per, confrontando la divisione in colonna con quella canadese»
Ins: «Ok sono d’accordo! Allora ti chiedo una cosa, questo 340 che tu vedi nella divisione in colonna, che non è proprio scritto ma abbiamo detto che quel 34 sarebbe un 340 ed è lo stesso che si vede nella canadese ma da dove verrà questo 340? Quando facciamo 17 per 2 fa 34»
Stud2: «Eh poi appunto ci aggiungiamo lo zero del 10 facendo per 10»
Ins: «Ma quindi quel 2 è davvero un 2 e basta? Perché lo scriviamo in un posto specifico che è sopra il 7»
Stud2: «No sarebbe, cioè, sì sarebbe sempre 2, è come… aaaah no sarebbe 20»
Ins.: «Mmm forse sarebbe un 20 in realtà, quanto fa 17 per 20?»
Stud2: «17 per 20 fa 340»
Di seguito un esempio di “scaletta” scritta dall’insegnante di una classe sperimentale, in cui sono riportati tutti i punti espressi dagli studenti durante la discussione.
La lezione si conclude con questa bozza di mail per Nadège che poi l’insegnante provvederà a rielaborare (vedi allegato mail a Nadège), cercando di rimanere fedele alle idee degli studenti.
Scaletta scritta in classe dall’insegnante durante la discussione.
Riportiamo infine un breve episodio accaduto in alcune classi dopo aver preparato la mail di risposta a Nadège. Negli studenti è nato il desiderio di andare a raccontare alle loro maestre della scuola elementare cosa hanno capito: tutti i perché nascosti dietro all’algoritmo per la divisione in colonna. Questi studenti hanno dichiarato di sentirsi in grado di spiegare il significato di ogni passaggio dell’algoritmo e cioè di fare la parte dei matematici!
Esempio di email di risposta per Nadége prodotta da una classe sperimentale.
CONCLUSIONI
Secondo una descrizione data da Cuoco e Goldenberg (1996), il matematico alle prese con l’algebra usa l’astrazione quando si trova davanti a due sistemi che calcolano la stessa cosa ed è portato ad inventare una struttura che ne catturi le somiglianze. In questo senso i nostri studenti sembrano essersi appropriati dell’astrazione, intesa come habit of mind.
In generale abbiamo osservato che, mano a mano che gli studenti confrontavano i due algoritmi, emergeva sempre più forte l’esigenza da parte loro di proseguire nella scoperta dei perché, verso cui li abbiamo inizialmente guidati con questo percorso. La conferma l’abbiamo avuta anche nella scrittura della mail di risposta a Nadège dove il focus della discussione è stato riportato, dalla classe stessa, sulla necessità di spiegare il perché di determinati passaggi.
Meritano una riflessione particolare affermazioni come “non capisco perché devo portare giù il 5” oppure “non capisco perché nella canadese devo sommare”, che poi sono diventate in questa ultima fase “Perché, cioè, se fosse la prima volta che uno vede quella freccia non capirebbe secondo me” o “però poi dobbiamo anche dirgli il perché questo succede sennò poi succede come hanno fatto a noi, cioè io non sapevo cosa voleva dire per esempio quella freccetta!”.
Le questioni sollevate dagli studenti con queste frasi sono molto interessanti in quanto sono una specifica richiesta di voler capire non il come fare ma il perché. In questo modo gli studenti hanno dimostrato di aver spostato il loro focus dall’algoritmo al significato dell’algoritmo e di aver sviluppato una consapevolezza della differenza tra saper fare e aver capito.
Questa presa di consapevolezza è in linea con una visione epistemologica della matematica che, come educatori, vorremmo promuovere e, in più, lavora sul senso di autoefficacia dello studente.
In particolare, concludiamo osservando che è molto significativo che sia nato negli studenti il desiderio di andare a raccontare alle loro maestre della scuola elementare cosa hanno capito: tutti i perché nascosti dietro all’algoritmo per la divisione in colonna.
1 In alcune classi il percorso è stato sperimentato nel periodo di didattica a distanza (aprile 2020).
2 “Bring down” identifica il passaggio in cui si porta giù una cifra del dividendo utilizzando una freccia.
2018_3_1011_IP.01 “LE NUOVE FRONTIERE DEL DIRITTO ALL’ISTRUZIONE. Rimuovere le difficoltà d’apprendimento, favorire una scuola inclusiva e preparare i cittadini responsabili e attivi del futuro - Fase 2". Questa iniziativa è realizzata nell'ambito del Programma operativo FSE 2014 – 2020 della Provincia autonoma di Trento grazie al sostegno finanziario del Fondo sociale europeo, dello Stato italiano e della Provincia autonoma di Trento. La Commissione europea e la Provincia autonoma di Trento declinano ogni responsabilità sull’uso che potrà essere fatto delle informazioni contenute nei presenti materiali.